透视投影矩阵推导The Perspective Projection Matrix Derivation Part2

• Part1 OpenGL透视投影矩阵推导
• Part2 DirectX透视投影矩阵推导

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DirectX 透视投影矩阵推导，DX和OpenGL有一些区别

• 坐标系不同:DirectX LHS左手坐标系Z反向指向屏幕，而OpenGL是右手坐标系
• NDC定义不同: Z的范围为[0,1] OpenGL中为[-1,1]
• DirectX HLSL中的Matrix默认为 column major(本文中我们还是以row-major来进行推导)

由此我们按照Part1的方法，以DirectX环境中值来进行一遍推导

Step1 正交化处理

对于点$P(x,y,z,1)$，经过投影变换乘以透视矩阵得到$P'$，$P'$位于Normalized Device Coordinates(NDC)中。

$M_{proj}P = P' \newline$
P'{x} \in [-1,1] \newline
P'{y} \in [-1,1] \newline
P'_{z} \in [0,1]

更具三角形等比公式

$P'=(\frac{n}{z}x,\frac{n}{z}y,f(z),1)$， 正交化之前$P'=(nx,ny,g(z),z)$

设 $g(z)=az+b$

$\begin{bmatrix}$
? & ? & ? & ? \
? & ? & ? & ? \
0 & 0 & a & b \
0 & 0 & 1 & 0 \
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \
y \
z \
1 \
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
nx \
ny \
az+b\
z
\end{bmatrix}

取NDC近平面左下角$P_{lbn}=(l,b,n,1)$和远平面右上角$P_{rtf}=(r,t,f,1)$。

经过投影变换

$P_{lbn}=(l,b,n,1) \rightarrow (-1,-1,0,1) \leftrightarrow(-n,-n,0,n)$

$P_{rtf}=(r,t,f,1) \rightarrow (1,1,1,1)\leftrightarrow(f,f,f,f)$

得到
$an+b=0\newline$
af+b=f

求得
$a=\frac{f}{f-n} \newline$
b=\frac{fn}{f-n}

$\begin{bmatrix}$
? & ? & ? & ? \
? & ? & ? & ? \
0 & 0 & \frac{f}{f-n} & \frac{fn}{f-n} \
0 & 0 & 1 & 0 \
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \
y \
z \
1 \
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
? \
? \
\frac{f(z+n)}{f-n}\
z
\end{bmatrix}

Step2 求解前两行

类似Part1 我们定义8个矩阵变量.
$\begin{bmatrix}$
A & B & C & D \
E & F & G & H \
0 & 0 & \frac{f}{f-n} & \frac{fn}{f-n} \
0 & 0 & 1 & 0 \
\end{bmatrix}

可以得到 B D E H为0

$\begin{bmatrix}$
A & 0 & C & 0 \
0 & F & G & 0 \
0 & 0 & \frac{f}{f-n} & \frac{fn}{f-n} \
0 & 0 & 1 & 0 \
\end{bmatrix}

取两点 $S(l,b,n,1) \rightarrow(-n,-n,0,n)$ 和 $T(r,t,n,1)\rightarrow(n,n,0,n)$，代入矩阵得到方程组

$Al+Cn=-n \newline$
Ar+Cn=n \newline
Fb+Gn=-n \newline
Ft+Gn=n

求解

$A=\frac{2n}{r-l} \newline$
C=-\frac{r+l}{r-l} \newline
F=\frac{2n}{t-b} \newline
G=-\frac{t+b}{t-b} \newline

设viewport对称：

$r+l=0 \newline$
r-l=w \newline
t+b=0 \newline
t-b=h

得到最终矩阵

$\begin{bmatrix}$
\frac{2n}{w} & 0 & 0 & 0 \
0 & \frac{2n}{h} & 0 & 0 \
0 & 0 & \frac{f}{f-n} & \frac{fn}{f-n} \
0 & 0 & 1 & 0 \
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \
y \
z \
1 \
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\frac{2nx}{w} \
\frac{2ny}{h} \
\frac{f(z+n)}{f-n}\
z
\end{bmatrix}